Definition
In order to express ceasing resistance to an opponent or enemy, Germans use (sich) ergeben, and to express quitting or abandoning something, the word is aufgeben.
The word (sich) ergeben can also mean to dedicate (oneself), or to devote (oneself). Without sich, the word ergeben means “result in”.
The word aufgeben can also be used to assign a task.
Examples
Er hat sich der Polizei ergeben. He surrendered to the police.
Ergeben Sie sich! Ergib dich! Surrender (yourself)!
Er hat den Kampf aufgegeben. He gave up the fight.
Du musst das Rauchen aufgeben! You have to quit smoking.
Wir haben die Hoffnung aufgegeben. We gave up hope.
Er hat sich völlig seiner Arbeit ergeben. He entirely devoted himself to his work.
Es ergab Chaos. It resulted in chaos.
Der Lehrer hat mir zu viele Hausaufgaben aufgegeben. The teacher gave me too much homework.